फूरियर ट्रांसफॉर्म समय के एक मनमाने कार्य को जटिल संख्या विमान में इसके आवृत्ति घटकों के एक सेट में बदलने का सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला साधन है। इस परिवर्तन को उनके स्पेक्ट्रा को निर्धारित करने के लिए एपेरियोडिक कार्यों पर लागू किया जा सकता है, जिस स्थिति में जटिल ऑपरेटर s को /co द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

जटिल तल पर संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग सबसे दिलचस्प आवृत्तियों को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

इन अभिन्नों के बुनियादी व्यवहार से परिचित होने के लिए, आइए कई उदाहरणों पर विचार करें। चित्र में. चित्र 14.6 (बाएं) समय क्षेत्र में एक इकाई क्षेत्र पल्स और इसकी वर्णक्रमीय संरचना को दर्शाता है; केंद्र में - समान क्षेत्र की एक नाड़ी, लेकिन एक बड़े आयाम के साथ, और दाईं ओर - नाड़ी का आयाम अनंत है, लेकिन इसका क्षेत्र अभी भी एकता के बराबर है। सही तस्वीर विशेष रूप से दिलचस्प है क्योंकि शून्य-चौड़ाई वाली पल्स के स्पेक्ट्रम में समान आयाम वाली सभी आवृत्तियाँ होती हैं।

चावल। 14.6. एक ही चौड़ाई, एक ही दिशा में दालों का स्पेक्ट्रा

1822 में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जे. बी जे फूरियर ने थर्मल चालकता पर अपने काम में दिखाया कि किसी भी आवधिक फ़ंक्शन को प्रारंभिक घटकों में विघटित किया जा सकता है, जिसमें पुनरावृत्ति आवृत्ति और इस आवृत्ति के हार्मोनिक्स का एक सेट शामिल है, प्रत्येक हार्मोनिक्स में पुनरावृत्ति आवृत्ति के संबंध में अपना स्वयं का आयाम और चरण होता है। फूरियर रूपांतरण में प्रयुक्त मूल सूत्र हैं:

जहां A() घटक का प्रतिनिधित्व करता है एकदिश धारा, और ए पी और बी पी क्रम की मौलिक आवृत्ति के हार्मोनिक्स हैं और, जो क्रमशः इसके साथ चरण और एंटीफ़ेज़ में हैं। फ़ंक्शन /(*) इस प्रकार इन हार्मोनिक्स और लो- का योग है

ऐसे मामलों में जहां f(x) mc/2 के संबंध में सममित है, यानी। f(x) l से 2l तक के क्षेत्र पर = -f(x) 0 से l तक के क्षेत्र पर, और कोई प्रत्यक्ष धारा घटक नहीं है, फूरियर रूपांतरण सूत्रों को सरल बनाया गया है:

जहाँ n = 1, 3.5, 7…

सभी हार्मोनिक्स साइनसॉइड हैं, उनमें से केवल कुछ चरण में हैं, और कुछ मौलिक आवृत्ति के साथ चरण से बाहर हैं। सर्वाधिक तरंगरूप पाए जाते हैं बिजली के इलेक्ट्रॉनिक्स, को इस तरीके से हार्मोनिक्स में हल किया जा सकता है।

यदि फूरियर रूपांतरण 120° की अवधि के साथ आयताकार दालों पर लागू किया जाता है, तो हार्मोनिक्स क्रम k = bi ± 1 का एक सेट होगा, जहां n पूर्णांकों में से एक है। पहले के सापेक्ष प्रत्येक हार्मोनिक h का आयाम उसकी संख्या से संबंध h = l//e द्वारा संबंधित होता है। इस मामले में, पहले हार्मोनिक का आयाम आयताकार सिग्नल के आयाम से 1.1 गुना अधिक होगा।

फूरियर रूपांतरण प्रत्येक हार्मोनिक के लिए एक आयाम मान उत्पन्न करता है, लेकिन चूंकि वे सभी साइनसॉइडल हैं, आरएमएस मान केवल संबंधित आयाम को 2 की जड़ से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। आरएमएस मान जटिल संकेतपहले सहित प्रत्येक हार्मोनिक के मूल माध्य वर्ग मानों के वर्गों के योग का वर्गमूल है।

दोहरावदार नाड़ी कार्यों के साथ काम करते समय, कर्तव्य चक्र पर विचार करना उपयोगी होता है। यदि चित्र में दोहराई जाने वाली दालें। 14.7 में समय A के लिए मूल-माध्य-वर्ग मान X है, तो समय B के लिए मूल-माध्य-वर्ग मान X(A/B) 1 '2 के बराबर होगा। इस प्रकार, दोहराई जाने वाली दालों का आरएमएस मान कर्तव्य चक्र मान के वर्गमूल के समानुपाती होता है। इस सिद्धांत को एकता आयाम के साथ 120° (कर्तव्य चक्र 2/3) की अवधि वाले आयताकार दालों पर लागू करने पर, हमें (2/3) 1/2 = 0.8165 का आरएमएस मान प्राप्त होता है।

चावल। 14.7. दोहराने के लिए मूल माध्य वर्ग (आरएमएस) मान निर्धारित करना

आवेग

आयताकार दालों के उल्लिखित अनुक्रम के अनुरूप हार्मोनिक्स को जोड़कर इस परिणाम की जांच करना दिलचस्प है। तालिका में। 14.2 इस सारांश के परिणाम दिखाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ मेल खाता है।

तालिका 14.2. संगत हार्मोनिक्स के योग के परिणाम

2/3 के कर्तव्य चक्र और इकाई आयाम के साथ आवधिक संकेत

हार्मोनिक संख्या

हार्मोनिक आयाम

कुल आरएमएस मूल्य

तुलनात्मक उद्देश्यों के लिए, हार्मोनिक्स के किसी भी सेट को समूहीकृत किया जा सकता है और संबंधित समग्र हार्मोनिक विरूपण स्तर निर्धारित किया जा सकता है। सिग्नल का मूल माध्य वर्ग मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जहां h\ पहले (मौलिक) हार्मोनिक का आयाम है, और h„ क्रम n > 1 के हार्मोनिक्स का आयाम है।

विकृति के लिए उत्तरदायी घटकों को अलग से इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहां n > 1. फिर

जहां फंड पहला हार्मोनिक है, और नॉनलाइनियर विरूपण कारक (टीएचडी) डी/फंड के बराबर होगा।

हालाँकि स्क्वायर वेव ट्रेन विश्लेषण दिलचस्प है, वास्तविक दुनिया में इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। स्विचिंग प्रभाव और अन्य प्रक्रियाएं आयताकार दालों को ट्रैपेज़ॉइडल दालों की तरह बनाती हैं, या, कन्वर्टर्स के मामले में, 1 कॉस (0) द्वारा वर्णित अग्रणी किनारे और कॉस (0) द्वारा वर्णित गिरते किनारे के साथ, जहां 0< 0

लघुगणकीय पैमाने पर, इस ग्राफ के संबंधित अनुभागों का ढलान -2 और -1 है। विशिष्ट प्रतिक्रिया मूल्यों वाले सिस्टम के लिए, ढलान में परिवर्तन लगभग नेटवर्क आवृत्ति के 11वें से 35वें हार्मोनिक तक आवृत्तियों पर होता है, और साथ में सिस्टम में प्रतिक्रिया या धारा में वृद्धि से ढलान में परिवर्तन की आवृत्ति कम हो जाती है। इन सबका व्यावहारिक परिणाम यह है कि उच्च हार्मोनिक्स जितना आप सोच सकते हैं उससे कम महत्वपूर्ण हैं।

यद्यपि प्रतिक्रिया बढ़ाने से उच्च क्रम के हार्मोनिक्स को कम करने में मदद मिलती है, यह आमतौर पर संभव नहीं है। चरण बदलाव द्वारा प्राप्त सुधार या वोल्टेज रूपांतरण के दौरान दालों की संख्या में वृद्धि करके खपत किए गए वर्तमान में हार्मोनिक घटकों को कम करना अधिक बेहतर है। ट्रांसफार्मर के संबंध में, इस विषय पर अध्याय में चर्चा की गई थी। 7. यदि थाइरिस्टर कनवर्टर या रेक्टिफायर को स्टार और डेल्टा में जुड़े ट्रांसफार्मर की वाइंडिंग से संचालित किया जाता है, और कनवर्टर या रेक्टिफायर के आउटपुट श्रृंखला या समानांतर में जुड़े होते हैं, तो 12-पल्स रेक्टिफिकेशन प्राप्त होता है। सेट में हार्मोनिक संख्याएं अब k = 6 और + 1 के बजाय k = \2n ± 1 हैं, जहां n पूर्णांकों में से एक है। 5वें और 7वें क्रम के हार्मोनिक्स के बजाय, 11वें और 13वें क्रम के हार्मोनिक्स अब दिखाई देते हैं, जिनका आयाम काफी छोटा है। और भी अधिक स्पंदन का उपयोग करना काफी संभव है, और, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रोकेमिकल संयंत्रों के लिए बड़ी बिजली आपूर्ति 48-पल्स सिस्टम का उपयोग करती है। चूंकि बड़े रेक्टिफायर और कन्वर्टर्स समानांतर में जुड़े डायोड या थाइरिस्टर के सेट का उपयोग करते हैं, ट्रांसफार्मर में चरण-शिफ्टिंग वाइंडिंग्स की अतिरिक्त लागत काफी हद तक इसकी कीमत निर्धारित करती है। चित्र में. चित्र 14.8 6-पल्स सर्किट की तुलना में 12-पल्स सर्किट के फायदे दिखाता है। 12-पल्स सर्किट में 11वें और 13वें क्रम के हार्मोनिक्स का विशिष्ट आयाम मान पहले हार्मोनिक का लगभग 10% होता है। बड़ी संख्या में तरंगों वाले सर्किट में, हार्मोनिक्स क्रम k = pn + 1 के होते हैं, जहां p तरंगों की संख्या है।

रुचि के लिए, हम ध्यान दें कि हार्मोनिक सेट के जोड़े जो बस एक दूसरे के सापेक्ष 30° स्थानांतरित होते हैं, 6पल्स सर्किट में एक दूसरे को रद्द नहीं करते हैं। ये हार्मोनिक धाराएँ ट्रांसफार्मर के माध्यम से वापस प्रवाहित होती हैं; इस प्रकार, उनके पारस्परिक विनाश को सक्षम करने के लिए एक अतिरिक्त चरण बदलाव की आवश्यकता है।

सभी हार्मोनिक्स पहले चरण के साथ नहीं हैं। उदाहरण के लिए, 120° वर्ग तरंग ट्रेन के अनुरूप तीन चरण वाले हार्मोनिक पैटर्न में, हार्मोनिक्स के चरण -5वें, +7वें, -11वें, +13वें, आदि अनुक्रम के अनुसार बदलते हैं। तीन-चरण सर्किट में असंतुलित होने पर, एकल-चरण घटक दिखाई दे सकते हैं, जिसमें शून्य चरण बदलाव के साथ हार्मोनिक्स का तीन गुना होना शामिल है।

चावल। 14.8. 6 और 12 स्पंदन कन्वर्टर्स का स्पेक्ट्रा

आइसोलेशन ट्रांसफार्मर को अक्सर हार्मोनिक समस्याओं के लिए रामबाण इलाज के रूप में देखा जाता है। ये ट्रांसफार्मर सिस्टम में कुछ प्रतिक्रिया जोड़ते हैं और इस तरह उच्च हार्मोनिक्स के स्तर को कम करने में मदद करते हैं, हालांकि, शून्य-अनुक्रम धाराओं और इलेक्ट्रोस्टैटिक डिकॉउलिंग को दबाने के अलावा, उनका बहुत कम उपयोग होता है।

पिछले अध्याय में हमें दोलन प्रणाली पर एक अन्य दृष्टिकोण से परिचित कराया गया था। हमने देखा है कि स्ट्रिंग में विभिन्न प्राकृतिक हार्मोनिक्स उत्पन्न होते हैं और प्रारंभिक स्थितियों से प्राप्त किए जा सकने वाले किसी विशेष कंपन को उचित अनुपात में रचित कई एक साथ दोलन करने वाले प्राकृतिक हार्मोनिक्स के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। एक स्ट्रिंग के लिए, हमने पाया कि प्राकृतिक हार्मोनिक्स में आवृत्तियाँ ω 0, 2ω 0, Зω 0, .... होती हैं। इसलिए, स्ट्रिंग की सबसे सामान्य गति में मौलिक आवृत्ति ω 0 के साइनसॉइडल दोलन होते हैं, फिर दूसरा हार्मोनिक 2ω 0, फिर तीसरा हार्मोनिक 3ω 0, आदि। मौलिक हार्मोनिक प्रत्येक अवधि के बाद दोहराया जाता है T 1 = 2π/ω 0, दूसरा हार्मोनिक - प्रत्येक अवधि के बाद T 2 =2π/2ω 0 ; यह खुद को दोहराता है भीऔर हर अवधि के बाद टी 1 =2टी 2 , यानी बाद में दोउनकी अवधि. बिल्कुल उसी तरह एक अवधि के बाद टी 1 तीसरा हार्मोनिक भी दोहराया जाता है। इस खंड में इसके तीन कालखंड शामिल हैं। और फिर हम समझते हैं कि एक अवधि के बाद तार क्यों टूट जाता है टी 1 पूरी तरह से अपने आंदोलन के आकार को दोहराता है। इस प्रकार संगीतमय ध्वनि उत्पन्न होती है।

अभी तक हमने डोरी की गति के बारे में बात की है। तथापि आवाज़,जो स्ट्रिंग की गति के कारण होने वाली हवा की गति को दर्शाता है, उसमें भी वही हार्मोनिक्स शामिल होना चाहिए, हालांकि यहां हम अब हवा के अपने हार्मोनिक्स के बारे में बात नहीं कर सकते हैं। इसके अलावा, हवा में विभिन्न हार्मोनिक्स की सापेक्ष शक्ति स्ट्रिंग की तुलना में बहुत भिन्न हो सकती है, खासकर यदि स्ट्रिंग "साउंडिंग बोर्ड" के माध्यम से हवा से "जुड़ी" हो। अलग-अलग हार्मोनिक्स अलग-अलग तरीकों से हवा से संबंधित होते हैं।

यदि एक संगीतमय स्वर के लिए समारोह एफ(टी) वायुदाब को समय के फलन के रूप में दर्शाता है (जैसे कि चित्र 50.1,6 में), तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि एफ(टी) समय के सरल हार्मोनिक कार्यों की एक निश्चित संख्या के योग के रूप में लिखा जाता है (cos ω के समान)। टी) विभिन्न हार्मोनिक आवृत्तियों में से प्रत्येक के लिए। यदि दोलन की अवधि बराबर है टी,तब मौलिक कोणीय आवृत्ति ω=2π/T होगी, और निम्नलिखित हार्मोनिक्स 2ω, 3ω, आदि होंगे।

यहीं पर थोड़ी जटिलता उत्पन्न होती है। हमें यह उम्मीद करने का कोई अधिकार नहीं है कि प्रत्येक आवृत्ति के लिए प्रारंभिक चरण आवश्यक रूप से एक-दूसरे के बराबर होंगे। इसलिए, आपको cos (ωt + φ) जैसे फ़ंक्शंस का उपयोग करने की आवश्यकता है - इसके बजाय, हालांकि, इसका उपयोग करना आसान है प्रत्येकसाइन और कोसाइन दोनों की आवृत्तियाँ। आइए हम आपको वह याद दिला दें

और चूँकि φ एक स्थिरांक है, तो कोईआवृत्ति सह के साथ साइनसोइडल दोलनों को शब्दों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिनमें से एक में पाप ωt शामिल है, और दूसरे में cos ωt शामिल है।

तो हम इस नतीजे पर पहुंचे कि कोईआवधिक कार्य एफ(टी) अवधि के साथ टीगणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है

कहाँ ω=2π/T, ए ए और बी - संख्यात्मक स्थिरांक उस वजन को दर्शाते हैं जिसके साथ प्रत्येक कंपन घटक समग्र कंपन में शामिल होता है एफ(टी). अधिक व्यापकता के लिए, हमने अपने सूत्र में शून्य आवृत्ति 0 वाला एक शब्द जोड़ा है, हालांकि संगीतमय स्वरों के लिए यह आमतौर पर शून्य के बराबर होता है। यह केवल औसत ध्वनि दबाव मान में बदलाव है (यानी, "शून्य" स्तर में बदलाव)। इस शब्द के साथ हमारा सूत्र किसी भी मामले के लिए मान्य है। समीकरण (50.2) को चित्र में योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है। 50.2. हार्मोनिक कार्यों के आयाम एएन और बीएन एक विशेष नियम के अनुसार चयन किया जाता है। चित्र में उन्हें केवल योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है, पैमाने पर नहीं। [श्रृंखला (50.2) कहा जाता है फूरियर के पासकार्यों के लिए एफ(टी).]

हमने ऐसा कहा कोईकिसी आवधिक फलन को इस रूप में लिखा जा सकता है। एक छोटा सा संशोधन करना और इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि भौतिकी में हमारे सामने आने वाली किसी भी ध्वनि तरंग या किसी फ़ंक्शन को ऐसी श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। निस्संदेह, गणितज्ञ एक ऐसे फ़ंक्शन के साथ आ सकते हैं जो सरल हार्मोनिक से बना नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन जो पीछे की ओर "लपेटता है", ताकि कुछ मात्राओं के लिए टी इसके दो अर्थ हैं!) हालाँकि, हमें यहाँ ऐसी सुविधाओं के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है।

2.1. आवधिक संकेतों का स्पेक्ट्रा

एक आवधिक सिग्नल (करंट या वोल्टेज) एक प्रकार का प्रभाव होता है जब सिग्नल का आकार एक निश्चित समय अंतराल के बाद दोहराया जाता है। टी, जिसे काल कहा जाता है। आवधिक सिग्नल का सबसे सरल रूप एक हार्मोनिक सिग्नल या साइन तरंग है, जो आयाम, अवधि और प्रारंभिक चरण द्वारा विशेषता है। अन्य सभी सिग्नल होंगे गैर-हार्मोनिकया गैर sinusoidal. यह दिखाया जा सकता है, और अभ्यास साबित करता है, कि यदि बिजली आपूर्ति का इनपुट सिग्नल आवधिक है, तो प्रत्येक शाखा (आउटपुट सिग्नल) में अन्य सभी धाराएं और वोल्टेज भी आवधिक होंगे। इस मामले में, विभिन्न शाखाओं में सिग्नल का आकार एक दूसरे से भिन्न होगा।

विद्युत सर्किट में आवधिक गैर-हार्मोनिक संकेतों (इनपुट प्रभाव और उनकी प्रतिक्रियाओं) का अध्ययन करने के लिए एक सामान्य तकनीक है, जो फूरियर श्रृंखला में संकेतों के विस्तार पर आधारित है। इस तकनीक में यह तथ्य शामिल है कि ऐसे आयामों, आवृत्तियों और प्रारंभिक चरणों के साथ हार्मोनिक (यानी, साइनसॉइडल) संकेतों की एक श्रृंखला का चयन करना हमेशा संभव होता है, जिनके कोटि का बीजगणितीय योग किसी भी समय कोटि के बराबर होता है। अध्ययन के तहत गैर-साइनसॉइडल सिग्नल। तो, उदाहरण के लिए, वोल्टेज यूचित्र में 2.1. तनावों के योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और, क्योंकि समय के किसी भी क्षण में एक समान समानता होती है: . प्रत्येक पद एक साइनसॉइड है, जिसकी आवृत्ति अवधि से संबंधित है टीपूर्णांक अनुपात.

विचाराधीन उदाहरण के लिए, हमारे पास पहले हार्मोनिक की अवधि गैर-हार्मोनिक सिग्नल की अवधि के साथ मेल खाती हैटी 1 = टी, और दूसरे हार्मोनिक की अवधि दो गुना छोटी हैटी 2 = टी/2, अर्थात तात्कालिक हार्मोनिक मानों को इस रूप में लिखा जाना चाहिए:

यहां हार्मोनिक दोलनों के आयाम एक दूसरे के बराबर हैं ( ), और प्रारंभिक चरण शून्य हैं।

चावल। 2.1. पहले और दूसरे हार्मोनिक्स को जोड़ने का एक उदाहरण

गैर-हार्मोनिक संकेत

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, एक हार्मोनिक घटक को कहा जाता है जिसकी अवधि एक गैर-हार्मोनिक सिग्नल की अवधि के बराबर होती है पहलाया बुनियादीसिग्नल का हार्मोनिक. अन्य सभी घटकों को उच्च हार्मोनिक घटक कहा जाता है। एक हार्मोनिक जिसकी आवृत्ति पहले हार्मोनिक से k गुना अधिक है (और अवधि, तदनुसार, k गुना कम) कहलाती है

के - वें हार्मोनिक. अवधि के दौरान फ़ंक्शन का औसत मूल्य भी प्रतिष्ठित किया जाता है, जिसे कहा जाता है व्यर्थहार्मोनिक. सामान्य स्थिति में, फूरियर श्रृंखला को विभिन्न आवृत्तियों के हार्मोनिक घटकों की अनंत संख्या के योग के रूप में लिखा जाता है:

(2.1)

जहां k हार्मोनिक संख्या है; - केटीएच हार्मोनिक की कोणीय आवृत्ति;

ω 1 = ω =2 π / टी- पहले हार्मोनिक की कोणीय आवृत्ति; - शून्य हार्मोनिक.

बार-बार होने वाले रूपों के संकेतों के लिए, फूरियर श्रृंखला का विस्तार विशेष साहित्य में पाया जा सकता है। तालिका 2 आठ आवधिक तरंगों के लिए अपघटन दिखाती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तालिका 2 में दिए गए विस्तार तब होंगे यदि समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को बाईं ओर के आंकड़ों में दर्शाया गया है; समय की शुरुआत बदलते समय टीहार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण बदल जाएंगे, लेकिन हार्मोनिक्स के आयाम वही रहेंगे। अध्ययन किए जा रहे सिग्नल के प्रकार के आधार पर, वी को या तो वोल्ट में मापा गया मान समझा जाना चाहिए, अगर यह एक वोल्टेज सिग्नल है, या एम्पीयर में मापा गया मान है, अगर यह एक वर्तमान सिग्नल है।

आवधिक कार्यों का फूरियर श्रृंखला विस्तार

तालिका 2

अनुसूची एफ(टी)	कार्यों की फूरियर श्रृंखलाएफ(टी)	टिप्पणी
		क=1,3,5,...
		क=1,3,5,...
		क=1,3,5,...
		के=1,2,3,4,5
		क=1,3,5,...
		के=1,2,3,4,5
		एस=1,2,3,4,..
		क=1,2,4,6,..

सिग्नल 7 और 8 वाल्व तत्वों का उपयोग करके सर्किट द्वारा साइनसॉइड से उत्पन्न होते हैं।

गैर-साइनसॉइडल सिग्नल बनाने वाले हार्मोनिक घटकों के सेट को इस गैर-हार्मोनिक सिग्नल का स्पेक्ट्रम कहा जाता है। हार्मोनिक्स के इस सेट से, वे अलग और प्रतिष्ठित हैं आयामऔर चरणश्रेणी। आयाम स्पेक्ट्रम सभी हार्मोनिक्स के आयामों का सेट है, जिसे आमतौर पर ऊर्ध्वाधर रेखाओं के सेट के रूप में एक आरेख द्वारा दर्शाया जाता है, जिनकी लंबाई हार्मोनिक के आयाम मूल्यों के लिए आनुपातिक (चयनित पैमाने पर) होती है घटक, और क्षैतिज अक्ष पर स्थान इस घटक की आवृत्ति (हार्मोनिक संख्या) द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसी प्रकार, चरण स्पेक्ट्रा को सभी हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरणों के एक सेट के रूप में माना जाता है; उन्हें ऊर्ध्वाधर रेखाओं के एक सेट के रूप में पैमाने पर भी दिखाया गया है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में प्रारंभिक चरण आमतौर पर -180 0 से +180 0 तक की सीमा में मापा जाता है। व्यक्तिगत रेखाओं से युक्त स्पेक्ट्रा कहलाते हैं रैखिक या असतत. वर्णक्रमीय रेखाएँ दूरी पर हैं एफएक दूसरे से, कहाँ एफ- आवृत्ति अंतराल पहले हार्मोनिक की आवृत्ति के बराबर एफइस प्रकार, आवधिक संकेतों के असतत स्पेक्ट्रा में कई आवृत्तियों के साथ वर्णक्रमीय घटक होते हैं - एफ, 2एफ, 3एफ, 4एफ, 5एफवगैरह।

उदाहरण 2.1.एक आयताकार सिग्नल के लिए आयाम और चरण स्पेक्ट्रम ज्ञात करें जब सकारात्मक और नकारात्मक सिग्नल की अवधि बराबर होती है और अवधि के दौरान फ़ंक्शन का औसत मूल्य शून्य होता है

यू(टी) = वत्0<टी<टी/2

यू(टी) = -वत् टी/2<टी<टी

सरल, अक्सर उपयोग किए जाने वाले रूपों के संकेतों के लिए, तालिकाओं का उपयोग करके समाधान खोजने की सलाह दी जाती है।

चावल। 2.2. एक आयताकार सिग्नल का रेखा आयाम स्पेक्ट्रम

एक आयताकार सिग्नल के फूरियर श्रृंखला विस्तार से (तालिका 2 - 1 देखें) यह निष्कर्ष निकलता है कि हार्मोनिक श्रृंखला में केवल विषम हार्मोनिक्स होते हैं, जबकि हार्मोनिक्स के आयाम हार्मोनिक संख्या के अनुपात में कम हो जाते हैं। हार्मोनिक्स का आयाम रेखा स्पेक्ट्रम चित्र में दिखाया गया है। 2.2. निर्माण करते समय, यह माना जाता है कि पहले हार्मोनिक (यहां वोल्टेज) का आयाम एक वोल्ट के बराबर है: बी; तो तीसरे हार्मोनिक का आयाम बी, पांचवें - बी, आदि के बराबर होगा। सभी सिग्नल हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर होते हैं, इसलिए, चरण स्पेक्ट्रम में केवल शून्य समन्वय मान होते हैं।

समस्या सुलझ गई है।

उदाहरण 2.2.कानून के अनुसार अलग-अलग वोल्टेज के लिए आयाम और चरण स्पेक्ट्रम खोजें: पर - टी/4<टी<टी/4; यू(टी) = 0 पर टी/4<टी<3/4टी. ऐसा सिग्नल साइनसॉइड से हार्मोनिक सिग्नल के नकारात्मक भाग को समाप्त करके (वाल्व तत्वों का उपयोग करके सर्किटरी द्वारा) उत्पन्न किया जाता है।

ए)बी)

चावल। 2.3. अर्ध-तरंग सुधार संकेत का लाइन स्पेक्ट्रम: ए) आयाम; बी) चरण

साइनसॉइडल वोल्टेज (तालिका 2 - 8 देखें) के अर्ध-तरंग सुधार संकेत के लिए, फूरियर श्रृंखला में एक निरंतर घटक (शून्य हार्मोनिक), पहला हार्मोनिक, और फिर केवल सम हार्मोनिक्स का एक सेट होता है, जिसके आयाम तेजी से घटते हैं बढ़ती हार्मोनिक संख्या. यदि, उदाहरण के लिए, हम मान V = 100 V रखते हैं, तो प्रत्येक पद को सामान्य कारक 2V/π से गुणा करके, हम पाते हैं(2.2)

इस सिग्नल का आयाम और चरण स्पेक्ट्रा चित्र 2.3ए, बी में दिखाया गया है।

समस्या सुलझ गई है।

फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत के अनुसार, हार्मोनिक्स के योग के लिए एक गैर-हार्मोनिक संकेत की सटीक समानता केवल असीमित बड़ी संख्या में हार्मोनिक्स के लिए होती है। कंप्यूटर पर हार्मोनिक घटकों की गणना आपको किसी भी संख्या में हार्मोनिक्स का विश्लेषण करने की अनुमति देती है, जो गणना के उद्देश्य, सटीकता और गैर-हार्मोनिक प्रभाव के रूप से निर्धारित होती है। यदि संकेत अवधिटी इसके स्वरूप की परवाह किए बिना, अवधि की तुलना में बहुत कम टी, तो हार्मोनिक्स के आयाम धीरे-धीरे कम हो जाएंगे, और सिग्नल के अधिक संपूर्ण विवरण के लिए श्रृंखला की बड़ी संख्या में शर्तों को ध्यान में रखना आवश्यक है। यदि शर्त पूरी हो जाती है, तो तालिका 2 - 5 और 6 में प्रस्तुत संकेतों के लिए इस सुविधा का पता लगाया जा सकता है τ <<टी. यदि एक गैर-हार्मोनिक सिग्नल एक साइनसॉइड के आकार के करीब है (उदाहरण के लिए, तालिका 2 में सिग्नल 2 और 3), तो हार्मोनिक्स तेजी से कम हो जाते हैं, और सिग्नल के सटीक विवरण के लिए यह खुद को तीन से पांच तक सीमित रखने के लिए पर्याप्त है। श्रृंखला के हार्मोनिक्स.

लगभग किसी भी आवधिक फ़ंक्शन को त्रिकोणमितीय श्रृंखला (फूरियर श्रृंखला) का उपयोग करके सरल हार्मोनिक्स में विस्तारित किया जा सकता है:

एफ(एक्स) = + (एकओल एनएक्स + बी एनपाप एनएक्स), (*)

आइए इस श्रृंखला को सरल हार्मोनिक्स के योग के रूप में लिखें, यह मानते हुए कि गुणांक बराबर हैं एक= एकपाप जेएन, बी एन= एकओल जेएन. हम पाते हैं: एकओल जेएन + बी एनपाप जेएन = एकपाप( एनएक्स+ जेएन), कहाँ

एक= , टीजी जेएन = . (**)

फिर सरल हार्मोनिक्स के रूप में श्रृंखला (*) का रूप ले लेगी एफ(एक्स) = .

फूरियर श्रृंखला एक आवधिक फ़ंक्शन को अनंत संख्या में साइनसोइड्स के योग के रूप में दर्शाती है, लेकिन आवृत्तियों के साथ जिनका एक निश्चित अलग मूल्य होता है।

कभी-कभी एनवें हार्मोनिक रूप में लिखा है एकओल एनएक्स + बी एनपाप एनएक्स = एकक्योंकि( एनएक्स – जेएन) , कहाँ एक= एकओल जेएन , बी एन= एकपाप जेएन .

जिसमें एकऔर जेएनसूत्र (**) द्वारा निर्धारित होते हैं। फिर श्रृंखला (*) का रूप ले लेगी

एफ(एक्स) = .

परिभाषा 9. आवधिक कार्य प्रतिनिधित्व संचालन एफ(एक्स)फूरियर श्रृंखला कहलाती है हार्मोनिक विश्लेषण.

अभिव्यक्ति (*) दूसरे, अधिक सामान्य रूप में भी होती है:

कठिनाइयाँ एक, बी एनसूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं:

परिमाण सी 0 अवधि के दौरान फ़ंक्शन के औसत मूल्य को व्यक्त करता है और इसे स्थिर घटक कहा जाता है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कंपन और वर्णक्रमीय विश्लेषण के सिद्धांत में, फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व एफ(टी) फूरियर श्रृंखला में इस प्रकार लिखा गया है:

(***)

वे। एक आवधिक फ़ंक्शन को शब्दों के योग द्वारा दर्शाया जाता है, जिनमें से प्रत्येक एक आयाम के साथ एक साइनसॉइडल दोलन है एन के साथऔर प्रारंभिक चरण जेएन, अर्थात्, एक आवधिक फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला में आवृत्तियों के साथ व्यक्तिगत हार्मोनिक्स होते हैं जो एक स्थिर संख्या से एक दूसरे से भिन्न होते हैं। इसके अलावा, प्रत्येक हार्मोनिक का एक निश्चित आयाम होता है। मान एन के साथऔर जेएनसमानता (***) को संतुष्ट करने के लिए उन्हें उचित रूप से चुना जाना चाहिए, यानी, वे सूत्रों (**) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं [ एन के साथ = एक].

आइए हम फूरियर श्रृंखला (***) को फिर से इस रूप में लिखें कहाँ डब्ल्यू 1-मुख्य आवृत्ति. इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक जटिल आवधिक कार्य एफ(टी) मात्राओं के एक सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है एन के साथऔर जेएन .

परिभाषा 10. मूल्यों का सेट एन के साथअर्थात् आवृत्ति पर आयाम की निर्भरता कहलाती है फ़ंक्शन का आयाम स्पेक्ट्रमया आयाम स्पेक्ट्रम.

परिभाषा 11.मूल्यों का सेट जेएनकहा जाता है चरण स्पेक्ट्रम.

जब वे बस "स्पेक्ट्रम" कहते हैं, तो उनका मतलब आयाम स्पेक्ट्रम होता है; अन्य मामलों में, उचित आरक्षण किया जाता है। आवधिक कार्य है असतत स्पेक्ट्रम(अर्थात, इसे व्यक्तिगत हार्मोनिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है)।

किसी आवधिक फ़ंक्शन के स्पेक्ट्रम को ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है। इसके लिए हम निर्देशांक चुनते हैं एन के साथऔर डब्ल्यू = nw 1 . इस समन्वय प्रणाली में स्पेक्ट्रम को अलग-अलग बिंदुओं के एक सेट द्वारा दर्शाया जाएगा, क्योंकि प्रत्येक मान nw 1 एक विशिष्ट मान से मेल खाता है एन के साथ.अलग-अलग बिंदुओं वाला ग्राफ़ असुविधाजनक है। इसलिए, व्यक्तिगत हार्मोनिक्स के आयामों को उचित लंबाई के ऊर्ध्वाधर खंडों द्वारा चित्रित करने की प्रथा है (चित्र 2)।

चावल। 2.

इस असतत स्पेक्ट्रम को अक्सर लाइन स्पेक्ट्रम कहा जाता है। यह एक हार्मोनिक स्पेक्ट्रम है, अर्थात। समान दूरी वाली वर्णक्रमीय रेखाओं से युक्त; हार्मोनिक आवृत्तियाँ सरल गुणकों में होती हैं। पहले सहित व्यक्तिगत हार्मोनिक्स अनुपस्थित हो सकते हैं, यानी। उनका आयाम शून्य हो सकता है, लेकिन इससे स्पेक्ट्रम के सामंजस्य का उल्लंघन नहीं होता है।

असतत, या रेखा, स्पेक्ट्रा आवधिक और गैर-आवधिक दोनों कार्यों से संबंधित हो सकता है। पहले मामले में, स्पेक्ट्रम आवश्यक रूप से हार्मोनिक है।

फूरियर श्रृंखला विस्तार को गैर-आवधिक फ़ंक्शन के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन को एक अनंत रूप से बढ़ती अवधि के साथ एक आवधिक के सीमित मामले के रूप में मानते हुए, T®∞ की सीमा तक मार्ग को लागू करना आवश्यक है। 1/ के बजाय टीआइए वृत्ताकार मौलिक आवृत्ति का परिचय दें डब्ल्यू 1 = 2पी/ टी. यह मान आसन्न हार्मोनिक्स के बीच आवृत्ति अंतराल है, जिसकी आवृत्तियाँ 2p के बराबर हैं एन/टी. अगर टी® ∞, फिर डब्ल्यू 1® dwऔर 2पी एन/टी® डब्ल्यू, कहाँ डब्ल्यू- वर्तमान आवृत्ति, लगातार बदलती रहती है, dw- इसकी वृद्धि. इस मामले में, फूरियर श्रृंखला फूरियर इंटीग्रल में बदल जाएगी, जो एक अनंत अंतराल (-∞;∞) में एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन का हार्मोनिक कंपन में विस्तार है, जिसकी आवृत्तियों डब्ल्यू 0 से ∞ तक लगातार परिवर्तन:

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन में निरंतर या निरंतर स्पेक्ट्रा होता है, अर्थात। व्यक्तिगत बिंदुओं के बजाय, स्पेक्ट्रम को एक सतत वक्र के रूप में दर्शाया गया है। यह श्रृंखला से फूरियर इंटीग्रल तक सीमित संक्रमण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है: व्यक्तिगत वर्णक्रमीय रेखाओं के बीच का अंतराल अनिश्चित काल तक कम हो जाता है, रेखाएं विलीन हो जाती हैं, और अलग-अलग बिंदुओं के बजाय, स्पेक्ट्रम को बिंदुओं के निरंतर अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात। सतत वक्र. कार्य ए(डब्ल्यू) और बी(डब्ल्यू) आवृत्ति के आधार पर आयामों और प्रारंभिक चरणों के वितरण का नियम दें डब्ल्यू.